问题补充:
已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R)
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)的最小值为h(a),m,n为h(a)定义域A中的任意两个值,求证:.
答案:
(1)解:求导函数,可得
令f′(x)=0得
当a≥0时,f′(x)≥0,∴函数f(x)=2x+alnx在区间(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,若,则f′(x)<0;若,则f′(x)>0
∴函数f(x)=2x+alnx在区间上单调递减,在区间上单调递增.
综上所述,当a≥0时,函数f(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a<0时,函数f(x)的单调减区间为,单调增区间为.…(4分)
(2)解:由(1)知,当a≥0时,函数f(x)至多有一个零点,不符合题意,∴a<0
又由(1)知,若a<0,则函数f(x)在处取得极小值
∴函数f(x)有两个零点
∴,解得a<-2e
∴a的取值范围是(-∞,-2e)(8分)
(3)证明:由(1)(2)知,当a≥0时,函数f(x)无最小值;
当a<0时,
对于?m,n∈(-∞,0)且m≠n,有=(10分)
不妨设m<n<0,则,令,则
设
则,当且仅当t=1时取“=”
所以函数u(t)在[1,+∞)上单调递增,
故t>1时,u(t)>u(1)=0
又n<0,∴,即
所以(14分)
解析分析:(1)求导函数,令f′(x)=0得,再分类讨论:当a≥0时,f′(x)≥0;当a<0时,若,则f′(x)<0;若,则f′(x)>0,由此可得函数的单调区间;(2)先判断a<0,函数f(x)在处取得极小值,再根据函数f(x)有两个零点,建立不等式,即可求得a的取值范围;(3)由(1)(2)知,当a≥0时,函数f(x)无最小值;当a<0时,,利用作差法,再构建函数,利用导数,即可证得结论.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查不等式的证明,考查构造函数,综合性强,难度大.
已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个零点 求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)的最小值为h(a)