问题补充:
如图,直径AB、CD相互垂直,P为上任意一点,连PC、PA、PD、PB,下列结论:
①∠APC=∠DPE;
②∠AED=∠DFA;
③
其中正确的是A.①③B.只有①C.只有②D.①②③
答案:
A
解析分析:①利用垂径定理,可得=,又由圆周角定理,即可证得∠APC=∠DPE;
②由于∠A不一定等于∠D,故∠AED=∠DFA错误;
③连AC,AD,BD,将△ACP绕A点顺时针旋转90°,使AC与AD重合(依AB⊥CD知AC=AD)点P旋转到Q点,可证得△APQ是等腰直角三角形,CP+DP=AP,同理可得BP+AP=DP,继而可证得结论.
解答:∵直径AB、CD相互垂直,
∴=,
∴∠APC=∠DPE;
故①正确;
∵∠AED=∠DPE+∠D,∠DFA=∠APF+∠A,
∵P为上任意一点,
∴∠A不一定等于∠D,
∴∠AED不一定等于∠DFA;
故②错误;
连AC,AD,BD,将△ACP绕A点顺时针旋转90°,使AC与AD重合(依AB⊥CD知AC=AD)点P旋转到Q点,
∴AQ=AP,CP=QD,
∵∠PAQ=90°,AQ=AP,
∵∠ADQ+∠ADP=∠ACP+∠ADP=180°,
∴P,D,Q三点共线,
∴∠Q=∠APD=45°,
∴PQ2=PA2+AQ2,
∴PQ=AP,
即CP+DP=AP,
同理:BP+AP=DP,
∴.
故③正确.
故选A.
点评:此题考查了圆周角定理、垂径定理、旋转的性质以及勾股定理.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
如图 直径AB CD相互垂直 P为上任意一点 连PC PA PD PB 下列结论:①∠APC=∠DPE;②∠AED=∠DFA;③其中正确的是A.①③B.只有①C.只有