问题补充:
如图,以矩形OCPD的顶点O为原点,它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系.以点P为圆心,PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点,若抛物线y=ax2+bx+4经过A,B,C三点,且AB=6.
(1)求⊙P的半径R的长;
(2)求该抛物线的解析式并直接写出该抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标;
(3)若以AB为直径的圆与直线AC的交点为F,求AF的长.
答案:
解:(1)连接AP
∵四边形ODPC为矩形
∴PD⊥AB
∴AD=BD=AB=×6=3
又∵抛物线y=ax2+bx+4经过A,B,C三点
∴C(0,4)
即OC=4
∴PD=OC=4
∴由勾股定理得AP=5
∴⊙P的半径R的长为5;
(2)∵OD=CP=AP=5
∴A(2,0)B(8,0)
求得函数解析式为y=(x-2)(x-8)
抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标为(10,4);
(3)连接BF
∵AB为⊙D的直径
∴∠AFB=90°=∠COA
又∵∠CAO=∠BAF
∴△AOC∽△AFB
=
∵AO=2
AC===2
AB=6,∴=
∴AF=.
解析分析:(1)在函数y=ax2+bx+4中令x=0,解得y=4,则OC=PD=4,连接PA,在直角三角形△PAD中,根据勾股定理就可以得到PA的长.即圆的半径;
(2)PC是圆的半径,PC-AD可以求出,即可以得到A、B的坐标,把A,B的坐标代入y=ax2+bx+4就可以求出a、b的值.即函数的解析式.抛物线与⊙P的第四个交点E一定是C关于直线PD的对称点;
(3)以AB为直径的圆,圆心一定是点D,半径是3,连接BF,易得△AOC∽△AFB.根据相似三角形的对应边的比相等,可以求出AC的长.
点评:本题主要考查了待定系数法求函数的解析式,以及相似三角形的对应边的比相等.
如图 以矩形OCPD的顶点O为原点 它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系.以点P为圆心 PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A B两点 若抛物线y=ax2