问题补充:
设E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上滑动保持且∠EAF=45°,AP⊥EF于点P.
(1)求证:AP=AB;
(2)若AB=5,求△ECF的周长.
答案:
证明:(1)延长CB到F′,使BF′=DF,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABF′=180°-∠ABC=90°=∠D,
∴△ABF′≌△ADF(SAS),
∴AF′=AF,∠1=∠2,
∴∠EAF′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=45°=∠EAF,
又∵EA=EA,
∴△EAF′≌△EAF(SAS),
∴EF′=EF,S△AEF=S△ABF,
而EF′?AB=EF?AP,
∴AB=AP.
解:(2)C△CEF=EC+CF+EF
=EC+CF+EF′
=EC+BE+CF+BF′
=BC+CF+DF
=BC+CD=2AB=10.
解析分析:通过作辅助线,①证明△ABF′≌△ADF和△EAF′≌△EAF,再通过面积公式得出AP=AB;
②三角形的周长=三边之和,由①中三角形的全等,通过等量代换,得出BE+BF′=EF′.
点评:本题是一道综合题,考查三角形的全等,正方形的性质,以及等量代换的方法和转化的思想.
设E F分别在正方形ABCD的边BC CD上滑动保持且∠EAF=45° AP⊥EF于点P.(1)求证:AP=AB;(2)若AB=5 求△ECF的周长.