问题补充:
在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AB=8,BC=14,点E、F分别在边AB、CD上,EF∥AD,点P与AD在直线EF的两侧,∠EPF=90°,PE=PF,射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N,设AE=x,MN=y.
(1)求边AD的长;
(2)如图,当点P在梯形ABCD内部时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果MN的长为2,求梯形AEFD的面积.
答案:
解:(1)过D作DH⊥BC,DH与EF、BC分别相交于点G、H,
∵梯形ABCD中,∠B=90°,
∴DH∥AB,
又∵AD∥BC,
∴四边形ABHD是矩形,
∵∠C=45°,
∴∠CDH=45°,
∴CH=DH=AB=8,
∴AD=BH=BC-CH=6.
(2)∵DH⊥EF,∠DFE=∠C=∠FDG=45°,
∴FG=DG=AE=x,
∵EG=AD=6,
∴EF=x+6,
∵PE=PF,EF∥BC,
∴∠PFE=∠PEF=∠PMN=∠PNM,
∴PM=PN,
过点P作QR⊥EF,QR与EF、MN分别相交于Q、R,
∵∠MPN=∠EPF=90°,QR⊥MN,
∴PQ=EF=,PR=MN=,
∵QR=BE=8-x,
∴,
∴y关于x的函数解析式为y=-3x+10.定义域为1≤x<.
(3)当点P在梯形ABCD内部时,由MN=2及(2)的结论得2=-3x+10,AE=,
∴(AD+EF)?AE=,
当点P在梯形ABCD外部时,由MN=2及与(2)相同的方法得:,AE=x=4,
∴(AD+EF)?AE=.
解析分析:(1)过D作DH⊥BC,DH与EF、BC分别相交于点G、H,从而判定四边形ABHD是矩形,在RT△DHC中求出CH的长,利用AD=BH=BC-CH可得出AD的长.
(2)首先确定PM=PN,过点P作QR⊥EF,QR与EF、MN分别相交于Q、R,根据∠MPN=∠EPF=90°,QR⊥MN,可表示出PQ、PR,继而可得出y关于x的函数解析式,也能得出定义域.
(3)①当点P在梯形ABCD内部时,由MN=2及(2)的结论得2=-3x+10,AE=,可求得梯形的面积,②当点P在梯形ABCD外部时,由MN=2及与(2)相同的方法得:,AE=x=4,可求得梯形的面积.
点评:本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识,属于综合性较强的题目,难度较大,对于此类题目要学会由小及大,将所求的问题缩小,一步一步求解.
在梯形ABCD中 AD∥BC ∠B=90° ∠C=45° AB=8 BC=14 点E F分别在边AB CD上 EF∥AD 点P与AD在直线EF的两侧 ∠EPF=90°