中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。
我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。
本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。
系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。
系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。
二、重点难点分析
1.单项式除以单项式是整式除法的基础，熟练掌握其运算法则是关键。
2.同底数幂的除法要注意除式的底数不能为零，法则中的底数可以是一个数也可以是一个代数式。amn=am-n.
3.零指数和负整数指数幂中的底数均不能为零。a0=1（a≠0）；a-n=(a≠0).
4.对含有负整数指数幂的运算，可以根据定义将幂转化为正整数指数幂，也可以直接根据幂的运算法则进行运算。
5.除法是乘法的逆运算，多项式除以单项式可以转化为多个单项式除以单项式。
6.部分多项式除以多项式的运算，可以根据乘除互逆关系进行计算。
7.整式的除法只研究整除的情况，因此在除式中出现的字母，被除式中都出现，且指数不小于除式中同一字母的指数。
8.幂的除法运算、零指数幂、负整数指数幂要特别注意底数不为零，这里涉及字母取值范围的确定问题。（常见考点）
9.有了零指数和负整数指数幂，幂的运算法则可以推广到整数范围。
10.整式的混合运算关键是要注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
三、例题精选
例1计算：
（1）a53； （2）（-x）9（x3x2）；
(3)53； (4)（-）2-1+0;
(5)(-m)2n+2(-m)n(-m)n-1
解析：(1)原式=-a5-3+1=-a3；
(2)原式=-x9-3-2=-x4；
(3)原式=-(a+b)5-3=-(a+b)2；
(4)原式=-=3;
(5)原式=（-m）2n+2-n-(n-1)=（-m）3=-m3.
总结：(1)同底数幂的乘除要先分清底数是否相同,若不同,则要先化为同底数幂的运算再运用法则;(2)法则中"底数"可以是数、字母或代数式，关键是要相同;(3)同底数幂的乘法和除法是同级运算,按从左到右的顺序计算。（4）注意正负符号，底数和指数的符号是两个不同的内容，不要混淆.
例2计算。
(1) -8a2bx26a； (2)(-3a2)3(-2ab3)2[36(-a2b2)3]；
（3）（25x2+15x3y-20x4）（-5x2）； （4）[（x+y）2y(2x+y)-8x]2x.
解析：（1）对于多项式除法中的除数的约定，比如题（1）的形式，就是6a；如果本题改写成：-8a2bx26·a，那么除数就是6；例1中说过a和b可以是数字，可以是多项式。（2）多项式除以单项式实质上就是把多项式转化成多个单项式，然后除以除数单项式，结果相加。（3）多项式除以多项式目前初中大纲不要求，在例8中予以说明。(1)原式=abx2;
(2)原式=-27a6·4a2b6（-36a6b6）
=3a2；
(3)原式=-5-3xy+4x2;
(4)原式=（x2-8x）
=x-4.
例3 已知（a-3）a=1，求整数a的值。
解析：分三种情况讨论：一、底数为1，指数任意值；二、底数为-1，指数为偶数；三、指数为0，底数不等于0.
当a-3=1时，a=4；
当a-3=-1时，a=2；
当a=0时，a-3=-3，满足条件。
因此a的取值是0,2,4.
例4 小明在做一个多项式除以a的题目时，由于粗心，误以为乘以a，结果得到8a4b-4a3+2a2.求正确的结果。
解析：有两种方法：（1）通过乘法的逆运算（即除法）除以a求出原多项式，然后再除以a得到结果；（2）直接除以a）2.
正确的结果：32a2b-16a+8.
例5 小明在计算机上设计了一个计算程序：x→平方→+x→x→-x→答案，小军用几个数试了一下，列表如下：
（1）填表。
（2）列出代数式表示这个程序；
（3）结合1、2，你发现了什么结论？
解析：
（1）
（2）（x2+x）-x；
（3）（x2+x）-x=1（x，此说明不能漏）
例6 阅读:已知(x+1)(2x-3)=2x2-x-3,那么多项式2x2-x-3除以x+1的商是2x-3
解决问题:
(1)已知关于x的二次多项式除以x-5,商是2x+6,余式是2,求这个多项式;
(2)已知关于x的多项式3x2+mnx+n除以x+1的商是3x-5,余式是x,求m,n的值;
(3)已知关于x的三次多项式除以x2-1时,余式是2x一5；除以x2-4时；余式是-3x+4,求这个三次多项式。
解析：
(1)由除法的意义可知,这个多项式为被除式,由被除式=除式商式余式,然后根据多项式乘多项式的法则计算;
(2)根据被除式二除式X商式十余式得出3x2+mnx+n =(x+1)(3x-5)+x,再将等式右边化简,然后根据多项式相等的条件即可求出m,n的值;这个方法叫待定系数法。
(3)设所求三次多项式为ax3+bx2+cx+d(a0),则有
ax3+bx2+cx+d =（x2-1）(ax+m)+2x-5，（系数a：最高次项系数来自两个因式的最高次的乘积，直接写出a，简化计算）；
ax3+bx2+cx+d =（x2-4）(ax+n)-3x+4.
根据系数关系列出方程组,从而确定a,b,c,d这4个系数。
解答：
（1）原式=2x2-4x-28；
（2）(x+1)(3x-5)+x=3x2-x-5；
∴n==.
（3）设所求的三次多项式为；ax3+bx2+cx+d，则：
ax3+bx2+cx+d =（x2-1）(ax+m)+2x-5；①
ax3+bx2+cx+d =（x2-4）(ax+n)-3x+4；②
本题有6个未知数，如果用直接展开的方式很麻烦，可以采用特殊值法。
分别用x=1，x=-1代入①（用1和-1可以把不需要求的变量m去掉），则：
a+b+c+d=-3;
-a+b-c+d=-7;
分别用x=2，-2代入②得：
8a+4b+2c+d=-2；
-8a+4b-2c+d=10；
解得：；
因此所求三次多项式为：x3+3x2+.
例7 是否存在常数 p,q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除?如果存在,求出p，q的
值；如果不存在,请说明理由。
分析：存在性问题的通常解题思路：设存在，求出p和q，如果无解，说明不存在。,本题用两种方法求：
（1）利用除法的逆运算即乘法，设商式为x2+mx+n，利用待定系数法求。
设x4+px2+q=（x2+2x+5）（x2+mx+n）
=x4+(2+m)x3+(n+2m+5)x2+(2n+5m)x+5n;
则；
即存在常数p=6，q=30满足题意。
（2）方法2直接利用多项式除法，现在介绍长除法，也叫综合除法。把被除的多项式和除式多项式都按某个字母降幂排列，如果某项系数为0，则补0，然后相除。以本题为例，x4+px2+q改写成x4+0x3+px2+0x+q。
由于长除号word很难打出来，网上截了一道类似题目做参考，本题的解答参考视频吧。
四、练一练
1、解方程642x
2、已知5a=4；5b=6,5c=9；
（1）求52a+b的值。
（2）求5b-2c的值。
（3）求证：2b=a+c。
3、已知被除式是x3+3x2-1，商式是x，余式是-1，求除式，
4、如果整数x、y、z满足xyz=16，求代数式的值。
5、已知x3+kx2+3除以x+3，其余数比被x+1除所得余数少2，求k的值。
6已知a、b、c是实数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x-4整除。
（1）求4a+c的值；
（2）求2a-2b-c的值；
（3）若a、b、c是整式，且c，求a、b、c的值。
答案：
1、64、8、4分解质因数后，都只有一个质数2，因此：212x-6x-2=26,，x=.
2、（1）52a+b=52a·5b=16*6=96；
（2）5b-2c=5b2c=681=
（3）52b=62=36=49=5a5c=5a+c；即2b=a+c。
3、设除式为A则x3+3x2-1=Ax-1，整理后x3+3x2=Ax，即A= （x3+3x2）x=x2+3x。
4、分子分母的数分解质因数后得：=24;
得，解得，所求值=-4.
5、因为两个除式x+3和x+1都是一次单项式，所以余数必然是0次项，即常数。
设x3+kx2+3=A（x+3）+C①，则由题意：x3+kx2+3=B（x+1）+C+2②，
取x=-3代入①得C=-27+9k+3；
取x=-1代入②得C+2=-1+k+3；
解得k=3.
6、用待定系数法求解。
设x3+ax2+bx+c=（x2+3x-4）（x+d）则：a=d+3，c=-4d，b=3d-4；
（1）4a+c=12；
（2）2a-2b-c=14
（3）c，即a=d+3，d；c，d（a、b、c是整数，所以d也是整数）
当d=-2时，a=1，b=-10，c=8；
当d=-1时，a=2，b=-7，c=4.，
可以代入题（1）题（2）检验一下结果是否正确。
