中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。
我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。
本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。
系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。
系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。
初中数学培优 七年级下 第五讲 整式的乘法
二、重点难点分析
1. 幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方是将几个因数分别乘方再相乘。
2.单项式乘单项式结果还是单项式，相系时把系数和相同字母分别相系，即转化为数的运算和同底幂的运算。
3.单项式乘多项式、多项式乘多项式，实际上是运用了乘法的分配律，转化为单项式的乘法，其结果还是多项式，所以幂的运算法则是单项式相乘的基础，而单项式相乘的法则是整式乘法的基础,
4.幂的运算法则中的底数a既可以是一个数,也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，即应该把它看作一个"整体"。
5.幂的运算法则中的同底数幂的个数、累的指数个数、积中的因数个数都可以推广，比如[ ( a m) n]p = amnp .
6.几个单项式相乘，积的符号由负因式的个数决定。单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，根据乘法分配律不要漏乘，对于整式的混合运算，其运算顺序与数的运算顺序相同，先乘方和开方，再乘除，后加减。
三、例题精选
例1（1）（y4）3（y2）5； （2） （2a2b）3
(3)2·(24)3-(23)4； (4)[-2(x-y)2] (y-x)3.解析：幂的运算法则运算,计算时注意选择合适的法则,注意系数及系数的符号.若不是同底数,则应先进行适当的变形化成同底数。
解题过程 (1)原式=y12·y10=y22.(2)原式=-(-8a6b3)=8a6b3.
(3)原式=2·212-212=212.
(4)原式=4(x-y)4.(y-x)3=4(y-x)4 (y-x)3=4(y-x)7
在进行同底数幂的乘法运算时要注意以下几点:(1)先确定是否是同底数幂相乘,若是,则直接用法则进行计算;若不是,则应先化为同底数暴,再相乘;(2)同底数幂中底数可以是单项式也可以是多项式;(3)当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可以推广。易错误区 要熟练掌握幂的运算法则,避免出现y3·y4=y12,213-212=2这一类错误. 例2计算:
(1) -5ab2.()； (2)(ab-b2+)·(-2a)2；
（3）5x（x2-2x+4）-x2（5x-3）； （4）（2a2-b）(a-4b)(a+3b)(a-4b)
解析：根据运算法则运算,对于多项式乘多项式或混合运算，先根据法则去括号，再合并同类项。(1)原式=a3b3c;
(2)原式=2a3b-4a2b2a2;
(3)原式=-7x+20x;
(4)原式=2a3-8a2bab+4b2(a2-ab-12b2)=2a3-8a2b-a2+16b2.
例3(1)已知ax=5,ax+y=25,求ax+ay的值;
(2)已知10a=5,10b=6,求103a+2b的值。
解析：(1)先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出ax+y=ax·ay=25,根据(1ax=5可得ay=5,代入即可求解;
(2)将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算变形为(10)3a (10)2b,即可求解。
解答（1）原式=10 （2）原式=4500.
例4 设m=2100，n=375，为了比较大小，由于底数2和3是互质的，不可能换成同底幂，因此可以尝试将指数化成一样，100和75的最大公约数为25， 则m=2100=
（24）25=1625，n=（33）25=2725，因此mn。
试用此方法，比较430和340的大小。
解：430340。
例5 已知（2x-3）（x2+mx+n）的展开后不含x2和x项，求m+n的值。
解析：不含x2和x项，说明这两项的系数为零，我们可以采用待定系数法，建立方程组，求出m和n的值。（有时候m和n的值求不出来，但是题目中要求的m+n可以直接求出）
原多项式展开后得：原式=2x3+（2m-3）x2+（2n-3m）x-3n；
由题意：，观察题目后发现，①*2.5+②后可直接得m+n=3.75。
当然也可以求出：.
例6已知ax=by=1994z,a,b是自然数，且满足,求2a+b。
解析：分析题目，题目中有那么我们就要想办法构造出、；
由ax=1994z，两边开x次方，则a=，同理b=，即ab===1994=2*997=1*1994（997是个质数，无法继续分解）。
因此,则2a+b=1996,或，则2a+b=1001，或者，则2a+b=1996，或者，则2a+b=3989.
四、练一练
1、（1）已知xn=2，yn=3，求（x2y）2n的值。（2）已知4*23m44m=29，求m的值。
2、小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x+a)(3x+b),小华把第一个多项式中的a抄成了a,得到结果为6x2+11x-10;小明把第二个多项式中的3x抄成了x,得到结果为2x2-9x+10.
(1)你知道式子中a,b的值各是多少吗?
(2)请你计算出这道题的正确结果。
3. 已知代数式(mx2+2mx-1)(xm+3nx+2)化简以后是一个四次多项式,并且不含二次项，
分别求出m,n的值,并求出一次项系数。
答案1、（1）144 （2）
2、按步骤分两次求解：
小华：(2x-a)(3x+b)=6x2+（2b-3a）x-ab=6x2+11x-10;得；
小明：(2x+a)(x+b)=2x2+（2b+a）x+ab=2x2-9x+10；得；
联立①②解得.
展开后正确答案: (2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10
3、不能拿来就展开，首先得分析题目，展开后得四次多项项的话，说明m=2，代入原式后展开，能够简化题目。
原式=（2x2+4x-1）（x2+3nx+2）
此题不要求展开式，介绍一个新的方法。展开后的二次项有三个来源：一、（2x2+4x-1）中的二次项和（x2+3nx+2）的常数项（零次项）的乘积；二、（2x2+4x-1）中的一次项和（x2+3nx+2）的一次项的乘积；三、（2x2+4x-1）中的常数项和（x2+3nx+2）的二次项的乘积；∴二次项系数=4+12n-1=0，即n=.
同理，一次项系数=8-3n=。
