第七讲 直角三角形
一、知识框图
二、重点难点分析
1.直角三角形作为特殊的三角形,它有以下性质;
(1)直角三角形两锐角互余;
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(3)面积:S=ab=ch(a,b为直角边,c为斜边,h为斜边上的高);
(4)直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
2.等腰直角三角形和有一个角是30°角的直角三角形出现的频率很高,等腰直角三角形质是等腰三角形又是直角三角形,所以具备了直角三角形和等腰三角形的所有性质,有一个角是30°角的直角三角形相当于半个等边三角形,注意它的边角关系。
3.判定两个直角三角形全等,除了普通三角形的判定方法(SAS,ASA,AAS,SSS)外,还可以根据一条斜边和一条直角边对应相等判定全等,简称为"HL定理"。（由勾股定理决定的，直角三角形已知两条边长，可以算出第三条边的边长。SSS）
4.除了两个锐角互余的三角形是直角三角形外,也可以根据"如果一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形"来判定一个三角形是直角三角形,这个命题可以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理证得。
三、例题精选
解答：BF=AC，∠C=∠BFD=∠AFE，△BDF≌△ADC，得AD=BD,∠ABC=45°。
例2、如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度
例4、如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，
（1）若∠DCE=35°，∠ACB=______；若∠ACB=140°，则∠DCE=______；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．
解答：手拉手模型。
（1）、∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-∠DCE。
因此若∠DCE=35°，∠ACB=_145°_；若∠ACB=140°，则∠DCE=__40°____
（2）题（1）中已经求得；
（3）∠DAB=120°-∠CAE。
例5. 如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分别为AB、BD中点．（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系，并说明理由．
证明：
（1）由题意Rt△ACB≌Rt△BED，即AB=BD，得BM= DM′；Rt△EM′D≌Rt△CMB，所以CM=EM′；
（2）CK=KE．理由如下：如图2，延长MK至L，使KL=MM"，连接LE，
则KL+KM′=MM"+KM′，即KM=LM′，由（1）可知CM=EM′，∵BD=AB，M是AB的中点，M"是BD的中点，∴BM=BM′，∴∠BMM′=∠BM′M，由（1）知Rt△BCM≌Rt△DEM′，∴∠BMC=∠EM′D，∴∠CMK=∠KM′E，
在△CMK和△EM′L中；△CMK≌△EM′L（SAS）
∴CK=EL，又∵∠CKM=∠LKE=∠KLE，∴KE=LE，∴CK=KE．
这个题目线段太多，关系复杂，难度较大。
例6、已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．（1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系；（2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF的度数（用含α的式子表示）．
解答：
（1）通过三角形全等可得两个角相等；或者平行线关系，利用内错角相等，进行等量代换后可得。
（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．
证明：连接BE、AF．∵CD⊥AB，AE⊥AB，∴∠CDB=∠BAE=90°．又∵BD=AE，CD=AB，
△CDB≌△BAE．）∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．
在Rt△CDB中，∵∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°．∴∠EBA+∠CBD=90°．即∠CBE=90°．∴△BCE是等腰直角三角形．∴∠BCE=45°．
同理可证：△ACF是等腰直角三角形．∴∠ACF=45°．∴∠ACF=∠BCE．
∴∠ACF-∠ECF=∠BCE-∠ECF．即∠ACE=∠BCF
（3）∠ECF的度数为90°-α．
由（2）设∠ACE=∠BCF=x，则∠ACB=45°+x=a;而∠ECF=45°-x=45°-（a-45°）=90°-a
四、练一练
1、下列条件中是两个直角三角形全等的条件的是().
A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条边对应相等
D.两条边对应相等
2、如图,△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°,BD平分∠ABC,P是BD的中点。若AD=8,则CP的长为()
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
3、如图，P是等腰直角△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABP绕点A按逆时针方向旋转到△ACP′的位置，则∠APP′的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
答案：
1、D
2、C BD=AD=8，CP=0.5BD
3、B 题目中隐含意思：旋转后AB和AC重合，即旋转90°。
4、AE=BD 手拉手模型，由SAS可证△ACE≌△DCB
5、（1）略；
（2）证法1、连接CG，则两条边分别是两个Rt△AGC和Rt△AFC斜边AC的中线，相等；
证法2、分别取AE、CE中点M、N，连接FM和HM、连接HN和GN，可证△FMH≌△GNH，命题得证。
6、（1）连接BE，则BE⊥AC，直角三角形 斜边中线，命题得证；
（2）
由题意EF为中位线，BE=EG ，且BE⊥AC，命题得证。
7、如图：作CH⊥AB于H交AD于P，，
AH=CH，∠APH=∠AEH，所以△APH≌△AEH，∠HCE=∠DAH=22.5°；∠CFD=∠FDC=67.5°；CF=CD；
BE=BH-HE=AH-HE=CH-FH=CF=CD=BD，∴∠EDB=67.5°
命题得证。
扩充一下：设BC=2，则CH=BH=，BE=1，HE=-1，从而可得出22.5度角的正弦值，余弦值。
8、这是第6题和第7题的综合
△AEC是等腰直角三角形、CE⊥AE，EF是AC的中垂线，所以CM=AN、
关系：BC=CD=DM+CM=DM+AM
9、（1）欲证是等腰三角形，需证两个底角相等；
欲证两个底角相等，可通过证∠ACD=∠ABE得；
欲证∠ACD=∠ABE，只要证△AEB≌△ADC即可（SAS可证）
（2）如图，作BN⊥AB交GF的延长线于N，则∠GFC=∠NFB，由(1)得∠2=∠4；∠5=90°-∠2=∠GBN；∠DCB=∠EBC；而∠GFC+∠DCB=90°=∠AFB+∠EBC=∠AFB+∠DCB；得∠GFC=∠AFB=∠NFB；∠ABF=∠NBF=45°，共BF边，△AFB≌△NFB，得∠BNF=∠5=∠GBN，AF=BN，
结论：GB=GN=GF+FN=GF+AF；
10、（1）DF=BF且DF⊥BF．
证明：如图1：∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，∵F为CE的中点，∴DF=EF=CF=BF，∴DF=BF；∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，即：∠DFB=90°，∴DF⊥BF．
