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证明线段之间的数量关系是勾股定理相关证明题中的经典例题，本文就例题详细解析矩形中证明各线段数量关系的辅助线作法和解题思路，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
如图，ABCD为矩形，P为矩形ABCD所在平面上一点，求证：PA^2-PB^2=PD^2-PC^2。
解题过程：
过P点PE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F
根据矩形的性质和题目中的条件：矩形的对边平行，四个角为直角，则AB∥CD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°；
根据题目中的条件和结论：PE⊥AB，则∠AEP=∠BEP=90°；
根据平行线的性质和结论：两直线平行同位角相等，AB∥CD，则∠AEP=∠DFP，∠BEP=∠CFP；
根据结论：∠AEP=∠BEP=90°，∠AEP=∠DFP，∠BEP=∠CFP，则∠DFP=∠CFP=90°；
根据矩形的判定和结论：三个角为直角的四边形为矩形，∠DAB=∠CDA=90°，∠AEP=90°，则四边形AEFD为矩形；
根据矩形的性质和结论：矩形的对边相等，四边形AEFD为矩形，则AE=DF；
根据矩形的判定和结论：三个角为直角的四边形为矩形，∠ABC=∠BCD=90°，∠BEP=90°，则四边形BCFE为矩形；
根据矩形的性质和结论：矩形的对边相等，四边形BCFE为矩形，则BE=CF；
根据勾股定理和结论：∠AEP=90°，PA^2=AE^2+PE^2，则PE^2=PA^2-AE^2；
根据勾股定理和结论：∠BEP=90°，PB^2=BE^2+PE^2，则PE^2=PB^2-BE^2；
根据结论：PE^2=PA^2-AE^2，PE^2=PB^2-BE^2，则PA^2-AE^2=PB^2-BE^2，即PA^2-PB^2=AE^2-BE^2；
根据勾股定理和结论：∠DFP=90°，PD^2=DF^2+PF^2，则PF^2=PD^2-DF^2；
根据勾股定理和结论：∠CFP=90°，PC^2=CF^2+PF^2，则PF^2=PC^2-CF^2；
根据结论：PF^2=PD^2-DF^2，PF^2=PC^2-CF^2，则PD^2-DF^2=PC^2-CF^2，即PD^2-PC^2=DF^2-CF^2；
根据结论：AE=DF，BE=CF，PD^2-PC^2=DF^2-CF^2，则PD^2-PC^2=AE^2-BE^2；
根据结论：PD^2-PC^2=AE^2-BE^2，PA^2-PB^2=AE^2-BE^2，则PA^2-PB^2=PD^2-PC^2。
结语
证明矩形中各线段数量关系的关键步骤在于合理添加辅助线，构造出直角三角形，利用矩形的性质可以得到相关线段之间的数量关系，再结合等量替换的方法，就可以得到题目需要证明的结论。
