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利用勾股定理求解三角形是初二数学的重要题型，巧妙构造全等和直角三角形是解决这类题型的有效方法，本文就例题详细解析相关的辅助线作法和解题思路，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
如图，△ABC中∠BAC=45°，AD⊥BC于D，且BD=3，CD=2，求S△ABC。
解题过程：
以AB为边作∠BAE=∠BAD，取AE=AD，以AC为边作∠CAF=∠CAD，取AF=AD，连接BE、CF，延长EB、FC，交于点G
根据题目中的条件：∠BAD+∠CAD=∠BAC，∠BAC=45°，则∠BAD+∠CAD=45°；
根据题目中的条件：∠BAE=∠BAD，∠CAF=∠CAD，则∠BAE+∠CAF=∠BAD+∠CAD；
根据结论：∠BAD+∠CAD=45°，∠BAE+∠CAF=∠BAD+∠CAD，则∠BAE+∠CAF=45°；
根据题目中的条件和结论：∠EAF=∠BAE+∠CAF+∠BAD+∠CAD，∠BAD+∠CAD=45°，∠BAE+∠CAF=45°，则∠EAF=90°；
根据全等三角形的判定和题目中的条件：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB，则△BAE≌△BAD；
根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等、对应角相等，△BAE≌△BAD，则BE=BD，∠E=∠ADB；
根据全等三角形的判定和题目中的条件：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等，AF=AD，∠CAF=∠CAD，AC=AC，则△CAF≌△CAD；
根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等、对应角相等，△CAF≌△CAD，则CF=CD，∠F=∠ADC；
根据题目中的条件：AE=AD，AF=AD，则AE=AF；
根据题目中的条件：AD⊥BC，则∠ADB=∠ADC=90°；
根据结论：∠E=∠ADB，∠F=∠ADC，∠ADB=∠ADC=90°，则∠E=∠F=90°；
根据矩形的判定和结论：三个角为直角的四边形为矩形，∠EAF=90°，∠E=∠F=90°，则四边形AEGF为矩形；
根据正方形的判定和结论：有一组邻边相等的矩形为正方形，四边形AEGF为矩形，AE=AF，则四边形AEGF为正方形；
根据正方形的性质和结论：正方形的四条边相等，四个角为直角，四边形AEGF为正方形，则EG=FG=AE，∠G=90°；
根据结论：AE=AD，EG=FG=AE，则EG=FG=AD；
根据题目中的条件和结论：BD=3，CD=2，BE=BD，CF=CD，则BE=3，CF=2；
根据题目中的条件：BD=3，CD=2，BC=BD+CD，则BC=5；
设AD=x
根据结论：EG=FG=AD，AD=x，则EG=FG=x；
根据结论：EG=FG=x，BE=3，CF=2，则BG=EG-BE=x-3，CG=FG-CF=x-2；
根据勾股定理和结论：∠G=90°，BC^2=BG^2+CG^2，BC=5，BG=x-3，CG=x-2，则 (x-3)^2+(x-2)^2=5^2，可求得x=6或-1(舍去）；
根据三角形面积计算公式和结论：AD=6，BC=5，则S△ABC=AD·BC/2=15。
结语
这道题的解题关键是充分利用题目中给出的45度角和垂直关系构造出正方形，再利用勾股定理列出关于三角形高的等式方程进行求解，这种辅助线是解决相关题型的经典作法，可以化繁为简，轻松求解题目需要的值。
