问题补充:
已知点(x,y)在曲线C上,将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程x2+y2=8;定点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线C的方程;
(2)求m的取值范围.
答案:
解:(1)在曲线C上任取一个动点P(x,y),
则点(x,2y)在圆x2+y2=8上.
所以有x2+(2y)2=8.
整理得曲线C的方程为.
(2)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m,
又,
∴直线l的方程为.
由,
得x2+2mx+2m2-4=0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点,
∴△=(2m)2-4(2m2-4)>0,
解得-2<m<2且m≠0.
∴m的取值范围是-2<m<0或0<m<2.
解析分析:(1)先设曲线C上任取一个动点P的坐标(x,y),然后根据题意(x,2y)在圆x2+y2=8上,整理即可解出曲线C的方程.(2)设出直线l的方程,与C的方程联立方程组,整理为一元二次方程,根据根的判别式△>0,化简求出m的范围.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,以及椭圆的方程问题.考查对知识的综合运用能力,需要用到一元二次方程的根的判别式.本题属于中档题.
已知点(x y)在曲线C上 将此点的纵坐标变为原来的2倍 对应的横坐标不变 得到的点满足方程x2+y2=8;定点M(2 1) 平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m