问题补充:
已知二次函数f(x)=ax2+bx+a满足条件,且方程f(x)=7x+a有两个相等的实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,n(0<m<n),使f(x)的定义域和值域分别是?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)因为?二次函数f(x)=ax2+bx+a满足条件,
所以f(x)=ax2+bx+a=,
∴
又因为方程f(x)=7x+a有连个相等的实数根,即有两个相等的实数根.
所以△=-4a?0=0,
解得a=-2,
∴b=7
故f(x)=-2x2+7x-2.…(?(6分)??)
(2)存在.如图所示:
设?(x>0),则当f(x)=g(x)时,即
化简得:2x3-7x2+2x+3=0,故(x-3)(2x2-x-1)=0,
解得:x1=1,x2=3,x3=(舍去)
因为,此时,,
所以,故取?m=,
当x=3时,f(x)min=1,即.故取n=3
综上,取m=,n=3时,f(x)=-2x2+7x-2在[,3]上的值域是[1,].…(14分)
解析分析:(1)根据二次函数f(x)=ax2+bx+a满足条件,可知函数的对称轴,利用方程f(x)=7x+a有两个相等的实根,可得其判别式为0,从而可求f(x)的解析式;(2)构建函数?(x>0),则当f(x)=g(x)时,即,利用,此时,,可知,故取?m=,当x=3时,f(x)min=1,即.故取n=3,从而问题得解.
点评:本题重点考查函数的解析式,考查函数的定义域与值域,考查存在性问题,考查数形结合的思想,综合性强.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+a满足条件 且方程f(x)=7x+a有两个相等的实根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m n(0<m<n) 使f(x)