已知f（x）=lnx g（x）=+mx+（m＜0） 直线l与函数f（x）的图象相切 切点的横坐标为

问题补充：

已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．

（1）求直线l的方程及实数m的值；

（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；

（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜．

答案：

解：（1）∵，∴f（1）=1．

∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．

∴直线l的方程为y=x-1．

又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，

∴方程组 有一解．

由上述方程消去y，并整理得x2+2（m-1）x+9=0①

依题意，方程①有两个相等的实数根，

∴△=[2（m-1）]2-4×9=0

解之，得m=4或m=-2

∵m＜0，∴m=-2．

（2）由（1）可知 ，

∴g（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．

∴．

∴当x∈（-1，0）时，h（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h（x）＜0．

∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，

（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln=ln（1+）．

∵0＜b＜a，∴-a，∴．

由（2）知当x∈（-1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（-1，0）时，ln（1+x）＜x，

ln（1+）＜

．∴f（a+b）-f（2a）＜

解析分析：（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与 联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；

（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；

（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln=ln（1+）．由（2）知当x∈（-1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，

ln（1+）＜即可得出f（a+b）-f（2a）＜．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．

已知f（x）=lnx g（x）=+mx+（m＜0） 直线l与函数f（x）的图象相切 切点的横坐标为1 且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m