问题补充:
如图,在等腰梯形ABCD中,AB‖CD,已知AB=6,BC=2,∠DAB=45°,以AB所在直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系,将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG(O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点)(如图).
(1)在直线DC上是否存在一点P,使△EFP为等腰三角形,若存在,写出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(2)将等腰梯形ABCD沿x轴的正半轴平行移动,设移动后的OA=x(0<x≤6),等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式.
答案:
解:(1)①EP=FP时,易求出D(-2,2),E(0,6),F(2,4),
由勾股定理得:DE2=(0+2)2+(6-2)2=20,DF2=(2+2)2+(4-2)2=20,
∴DE=DF,
即D在EF的垂直平分线上,
即作出EF的垂直平分线,易得点P的坐标和D坐标重合为(-2,2),
②EP=EF时,与直线CD无交点,舍去这种情况;
EF=FP时,可得P坐标为CD与y轴的交点为(0,2)
∴P(-2,2),P(0,2);
(2)①当0<x≤2时,重合部分是一小等腰直角三角形,底边长为x,高为0.5x,
∴y=x2.
②当2≤x≤4时;重合部分是四边形,所在的梯形的上底为x-2,下底为x,高为2,三角形的底边为x,高为0.5x.
∴y=-x2+2x-2.
③当4≤x≤6时;重合部分是梯形.
∴y=-x2+4x-6.
解析分析:(1)易得D(-2,2),△EFP为等腰三角形,应分情况进行探讨.EP=FP时,作出EF的垂直平分线,易得点P的坐标和D坐标重合为(-2,2),EP=EF时,与直线CD无交点,舍去这种情况,EF=FP时,可得P坐标为CD与y轴的交点为(0,2);
(2)易得F(2,4),G(2,2),作出等腰梯形的两条高,得到等腰梯形是上底为2,高为2.当移动距离为0-2时,重合部分是三角形,底边为x,高为0.5x,易得面积;移动距离为2-4时,重合部分是四边形,可让梯形面积减去直角三角形面积;移动距离为4-6时,重合部分是三角形,易求得高与底边.
点评:使△DFP为等腰三角形,应利用尺规作图得到相应的在直线CD上的点;运动过程中的面积应注意不同时期的不同状态,注意利用容易算出的面积表示.
如图 在等腰梯形ABCD中 AB‖CD 已知AB=6 BC=2 ∠DAB=45° 以AB所在直线为x轴 A为坐标原点 建立直角坐标系 将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针