问题补充:
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(2,4),其顶点的横坐标是,它的图象与x轴交点为B(x1,0)和(x2,0),且x12+x22=13.求:
(1)此函数的解析式,并画出图象;
(2)在x轴上方的图象上是否存在着D,使S△ABC=2S△DBC?若存在,求出D的值;若不存在,说明理由.
答案:
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(2,4),
∴4a+2b+c=4 ①
∵顶点的横坐标是,
-②
∵函数图象与x轴交点为B(x1,0)和(x2,0),
∴x1+x2=-,x1x2=,
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=③
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,
由②得:a=-b代入①得:-2b+c=4 c=2b+4,
将a=-b c=2b+4代入③得:b2+2b(2b+4)=13b2,
b=0或b=1
∵b=0不合题意,
∴b=1,a=-1,c=6
∴y=-x2+x+6;
(2)设D(x,y) 则S△ABC=×BC×4=10,
S△DBC=×5|y|=y=5,
∴y=2,
将y=2代入y=-x2+x+6,
∴或.
解析分析:(1)已知函数的解析式,把点(2,4)代入,然后再根据顶点坐标公式及方程两根之和和两根之差,列出三个式子,从而求解;
(2)先设出D点的坐标,然后再根据已知条件S△ABC=2S△DBC,求出D点的坐标,从而求解.
点评:(1)第一问主要考查了用待定系数法求函数的解析式,还考查一元二次方程与函数的关系.
(2)此问把三角形的面积公式同函数结合起来出题,求特殊点的坐标,比较新颖.
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(2 4) 其顶点的横坐标是 它的图象与x轴交点为B(x1 0)和(x2 0) 且x12+x22=13.求:(1)此函数的