问题补充:
已知函数f(x)=ax+1-2(a>0,且a≠1)设f-1(x)是f(x)的反函数.
(I)若y=f-1(x)在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数,求a的值;
(Ⅱ)若y=f-1(x)的图象不经过第二象限,求a的取值范围.
答案:
解:(I)因为ax+1>0,
所以f(x)的值域是{y|y>-2}.
设y=ax+1-2,解得x=loga(y+2)-1.
当a>1时,f-1(x)=loga(x+2)-1为(-2,+∞)上的增函数,
所以f-1(0)+f(1)=0即(loga2-1)+(loga3-1)=0
解得a=.
(II)由(I)得f(x)的反函数为f-1(x)=loga(x+2)-1,(x>-2),它的图象不过第二象限,
当a>1时,函数f-1(x)是(-2,+∞)上的增函数,且经过定点(-1,-1).
所以f-1(x)的图象不经过第二象限的充要条件是f-1(x)的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上.
令loga(x+2)-1=0,解得x=a-2,
由a-2≥0,解得a≥2.
解析分析:(I)欲求原函数f(x)=ax+1-2的反函数,即从原函数式中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.先研究f-1(x)在[0,1]的单调性,得到当x取何值时,此函数取得最值,最后得到等式:f-1(0)+f(1)=0,解此关于a方程即可求得a值;
(II)由对数函数的图象可知,f-1(x)的图象不经过第二象限的充要条件是f-1(x)的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上,从而列出等式求出图象与x轴交点横坐标x=a-2,令其非负即可求得a的取值范围.
点评:本题考查反函数的求法、对数函数的图象变换及其性质,属于对数函数综合题目.
已知函数f(x)=ax+1-2(a>0 且a≠1)设f-1(x)是f(x)的反函数.(I)若y=f-1(x)在[0 1]上的最大值和最小值互为相反数 求a的值;(Ⅱ)