问题补充:
如图,已知⊙O的直径AB的长是4cm,点C在⊙O上,过点C的直径与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求弦BC的长.
答案:
解:(1)∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=∠A+∠ACO,
∴∠COB=2∠A
又∵∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°
∴即OC⊥CP
而OC是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线.
(2)∵AC=PC
∴∠A=∠P
∵∠A=∠ACO=∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠COB=∠CBO
∴BC=OC
∴BC==2(cm)
解析分析:(1)根据直径所对的圆周角是直角,得到∠ACB=90°,又∠COB=2∠PCB,∠COB=2∠AOC,等量代换得到∠OCP=90°,证明PC是⊙O的切线.
(2)在直角△ABC中,由AC=PC,∠COB=2∠A,以及(1)的结论得到∠A=30°,然后求出线段BC的长度.
点评:本题考查的是切线的判定,(1)根据直径所对的圆周角是直角,以及题目中所给出的角度的关系,可以得到∠OCP=90°,证明PC是⊙O的切线.(2)在直角三角形中,利用30°角所对的直角边是斜边的一半可以求出线段BC的长.
如图 已知⊙O的直径AB的长是4cm 点C在⊙O上 过点C的直径与AB的延长线交于点P AC=PC ∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求弦BC