问题补充:
如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求∠P的度数;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,AB=4,求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积.
答案:
(1)证明:∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线
(2)解:∵PC=AC,∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠P
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30°
(3)解:∵点M是半圆O的中点,
∴CM是角平分线,
∴∠BCM=45°
由(2)知∠BMC=∠A=∠P=30°,∴BC=AB=2
作BD⊥CM于D,
∴CD=BD=,
∴DM=
∴CM=
∴S△BCM=
∵∠BOC=2∠A=60°,∴弓形BmC的面积=
∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为
(注:其它解法,请参照给分)
解析分析:(1)由OA=OC可以得到∠A=∠ACO,而∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,由此得到∠A=∠ACO=∠PCB,又AB是⊙O的直径,所以∠ACO+∠OCB=90°接着可以推出即OC⊥CP,然后就可以证明PC是⊙O的切线;
(2)由PC=AC得到∠A=∠P,接着得到∠A=∠ACO=∠P,而∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°,利用这个等式和已知条件即可取出∠P;
(3)由M是半圆O的中点得到∠BCM=45°,由(2)知∠BMC=∠A=∠P=30°,这样可以求出BC的长度,作BD⊥CM于D,利用等腰直角三角形的性质可以分别求出CD,DM,CM,也就可以求出S△BCM,而∠BOC=2∠A=60°,这样也可以求出弓形BmC的面积,最后就可以求出线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积.
点评:本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用,综合性比较强,对于学生的能力要求很高.
如图 已知AB是⊙O的直径 点C在⊙O上 过点C的直线与AB的延长线交于点P AC=PC ∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求∠P的度数;(3