问题补充:
如图,⊙O的半径为5cm,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求线段BC的长度.
答案:
(1)证明:在⊙O中,∠COB=2∠CAB,OA=OC,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO,
∴∠COB=2∠ACO,
又∵∠COB=2∠PCB,
∴∠PCB=∠ACO,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
即∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠PCB+∠OCB=90°,即∠OCP=90°,
∴OC⊥CP,
∴PC是⊙O的切线;
(2)解:∵⊙O的半径为5cm,AB是⊙O的直径,
∴AB=10cm,
∵AC=PC,
∴∠A=∠P,
∵∠COB=2∠A,
∴∠COB=2∠P
又∵∠OCP=90°,
∴∠COB+∠P=90°,
∴∠P=30°,
∴∠A=30°,
又∵∠ACB=90°,
∴CB=AB=5cm.
解析分析:(1)根据直径所对的圆周角是直角,得到∠ACB=90°,又∠COB=2∠PCB,∠COB=2∠AOC,等量代换得到∠OCP=90°,证明PC是⊙O的切线.
(2)在直角△ABC中,由AC=PC,∠COB=2∠A,以及(1)的结论得到∠A=30°,然后求出线段BC的长度.
点评:本题考查的是切线的判定,(1)根据直径所对的圆周角是直角,以及题目中所给出的角度的关系,可以得到∠OCP=90°,证明PC是⊙O的切线.(2)在直角三角形中,利用30°角所对的直角边是斜边的一半可以求出线段BC的长.
如图 ⊙O的半径为5cm AB是⊙O的直径 点C在⊙O上 过点C的直线与AB的延长线交于点P AC=PC ∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求