求一道定积分 ∫x/(1+sinx) dx 上限pi/4 下限-pi/4答案是-√2/2*pi+2*

问题补充：

求一道定积分 ∫x/(1+sinx) dx 上限pi/4 下限-pi/4答案是-√2/2*pi+2*ln(√2+1)

答案：

x/(1+sinx)=x(1-sinx)/[1-(sinx)^2]=x[(secx)^2-secxtanx]

∫x/(1+sinx)dx=∫x[(secx)^2-secxtanx]dx=∫xd(tanx-secx)

=x(tanx-secx)-∫(tanx-secx)dx

=x(tanx-secx)+ln|cosx|+ln|secx+tanx|+C

=x(tanx-secx)+ln(1+sinx)+C

所以(-π/4,π/4)∫x/(1+sinx)dx=-√2/2*π+2*ln(√2+1)