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等腰直角三角形是非常特殊的三角形，等腰三角形和直角三角形的性质都是它的性质，因此等腰直角三角形在几何证明计算题中的运用相当广泛，本文就例题详细解析利用等腰直角三角形解决最值问题的方法，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，若在AB和AC上分别有一个动点M，N在移动，且在移动时保持AN=BM，判断△OMN的形状，若BC=4，求MN的最小值。
1、判断△OMN的形状
连接OB
根据等腰直角三角形的判定和题目中的条件：∠A=90°，AB=AC，则△ABC为等腰直角三角形；
根据等腰三角形的性质、题目中的条件和结论：等腰三角形底边上的中线就是顶角的平分线，也是底边上的高，△ABC为等腰直角三角形，O是BC的中点，则∠OAM=∠BAC/2，AO⊥BC；
根据题目中的条件和结论：∠OAM=∠BAC/2，∠BAC=90°，则∠OAM=45°；
根据等腰直角三角形的性质和结论：等腰直角三角形的底角为45°，△ABC为等腰直角三角形，则∠OCN=45°；
根据结论：∠OAM=45°，∠OCN=45°，则∠OAM=∠OCN；
根据题目中的条件：AB=AC，AN=BM，AM=AB-BM，CN=AC-AN；则AM=CN；
根据直角三角形的性质和题目中的条件：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，△ABC为等腰直角三角形，O是BC的中点，则OA=OC=OB；
根据全等三角形的判定和结论：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形为全等三角形，AM=CN，∠OAM=∠OCN，OA=OC，则△OAM≌△OCN；
根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等，△OAM≌△OCN，则OM=ON，∠AOM=∠CON；
根据结论：AO⊥BC，则∠AOC=90°；
根据题目中的条件和结论：∠AOC=∠AON+∠CON，∠AOC=90°，则∠AON+∠CON=90°；
根据结论：∠AON+∠CON=90°，∠AOM=∠CON，则∠AON+∠AOM=90°；
根据题目中的条件和结论：∠AON+∠AOM=90°，∠MON=∠AON+∠AOM，则∠MON=90°；
根据等腰直角三角形的判定和结论：OM=ON，∠MON=90°，则△MON为等腰直角三角形。
2、求MN的最小值
过O点作OD⊥MN，交MN于点D
根据等腰三角形的性质和结论：等腰三角形底边上的高为底边的中线，△MON为等腰直角三角形，则D是MN的中点；
根据直角三角形的性质和结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，△MON为等腰直角三角形，D是MN的中点，则OD=MN/2；
根据三角形的面积计算公式：S△MON=OM*ON/2，OM=ON，则S△MON=ON^2/2；
根据三角形的面积计算公式：S△MON=MN*OD/2，OD=MN/2，则S△MON=MN^2/4；
根据结论：S△MON=ON^2/2，S△MON=OD^2，则ON^2/2=MN^2/4，即MN^2=2ON^2；
所以，当ON取到最小值时，MN也取到最小值；
根据从直线外一点到直线的最短距离为这点到直线的垂直距离，则当ON⊥AC时，ON取到最小值；
根据结论：∠AOC=90°，OA=OC，则△AOC为等腰直角三角形；
根据等腰三角形的性质和结论：等腰三角形底边上的高为底边的中线，△AOC为等腰直角三角形，则N是AC的中点，即AN=AC/2；
根据题目中的条件和结论：AN=BM，AN=AC/2，AB=AC，则BM=AB/2，即M是AB的中点；
根据结论：N是AC的中点，M是AB的中点，则MN是△ABC的中位线；
根据中位线的性质和结论：三角形的中位线等于第三边的一半，MN是△ABC的中位线，则MN=BC/2。
根据题目中的条件和结论：MN=BC/2，BC=4，则MN=2。
所以，MN的最小值为2。
结语
这道题的解题关键是合理添加辅助线构造出全等三角形，利用全等三角形的性质可以得到边与角的相等关系，从而证得等腰直角三角形，再结合等腰三角形和直角三角形的性质，求解最值问题。
