问题补充:
矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=4,将纸片折叠,使点B落在边CD上的B′处,折痕为AE、在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等,则此相等距离为________.
答案:
解析分析:由翻折的性质知,BP=B′P,而要点P到CD的距离等于PB,则该垂线段必为PB′,故有PB′⊥CD,延长AE交DC的延长线于点F,由于DF∥AB,则∠F=∠BAE=∠B′AE,所以B′F=B′A=AB=5,而B′P∥AD,利用平行线分线段成比例定理(或相似三角形的性质)即可求得B′P的长,由此得解.
解答:方法1:根据折叠的性质知:BP=PB′,若点P到CD的距离等于PB,则此距离必与B′P相同,所以该距离必为PB′.延长AE交DC的延长线于F.
由题意知:AB=AB′=5,∠BAE=∠B′AE;
在Rt△AB′D中,AB′=5,AD=4,故B′D=3;
由于DF∥AB,则∠F=∠BAE,
又∵∠BAE=∠B′AE,
∴∠F=∠B′AE,
∴FB′=AB′=5;
∵PB′⊥CD,AD⊥CD,
∴PB′∥AD,
∴,即,
解得PB′=2.5;方法2:过B′做CD的垂线交AE于P点,连接PB,易于说明,P即是符合题意的.
在Rt△AB′D中,AB′=5,AD=4,故B′D=3
所以CB′=2
设BE=a,CE=4-a
又EB′=EB=a,
在Rt△ECB′中
(4-a)2+22=a2
解得a=2.5,
连接BB′,由对称性可知,BG=B′G,EP⊥BB′,
BE∥B′P,∴△BEG≌△B′PG,∴BE=B′P,
∴四边形BPB′E为平行四边形,又BE=EB′
所以四边形BPB′E是菱形
所以PB′=BE=a=2.5
故所求距离为2.5.
故此相等的距离为2.5.
点评:此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用,此题的关键是能够发现PB′就是所求的P到CD的距离.
矩形纸片ABCD中 AB=5 AD=4 将纸片折叠 使点B落在边CD上的B′处 折痕为AE 在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等 则此相等距离为__