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勾股定理在几何证明题中的运用相当广泛，本文就例题详细解析三角形内线段间数量关系证明题中的勾股定理和辅助线的运用方法，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
锐角△ABC中，AD⊥BC于D，若∠B=2∠C，求证：AC^2=AB^2+AB·BC。
解题过程：
延长CB，取BE=AB，连接AE
根据等边对等角的性质和题目中的条件：BE=AB，则∠E=∠EAB；
根据外角的性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，则∠ABC=∠E+∠EAB；
根据结论：∠E=∠EAB，∠ABC=∠E+∠EAB，则∠ABC=2∠E=2∠EAB；
根据题目中的条件和结论：∠ABC=2∠E，∠ABC=2∠C，则∠E=∠C；
根据等腰三角形的判定和结论：有两个角相等的三角形为等腰三角形，∠E=∠C，则△AEC为等腰三角形；
根据等腰三角形的性质和题目中的条件、结论：等腰三角形底边上的高就是底边上的中线，△AEC为等腰三角形，AD⊥BC，则CD=ED；
根据题目中的条件：AD⊥BC，则∠ADC=∠ADB=90°；
根据勾股定理和结论：∠ADC=90°，则AC^2=AD^2+CD^2；
根据勾股定理和结论：∠ADB=90°，则AB^2=AD^2+BD^2，即AD^2=AB^2-BD^2；
根据结论：AC^2=AD^2+CD^2，AD^2=AB^2-BD^2，则AC^2=AB^2+CD^2-BD^2；
根据题目中的条件和结论：BE+BD=ED，CD=ED，则BE+BD=CD；
根据题目中的条件和结论：BE=AB，BE+BD=CD，则AB+BD=CD；
根据题目中的条件：BC=BD+CD，AB+BD=CD，则BC=BD+AB+BD，可求得BD=(BC-AB)/2；
根据结论：AB+BD=CD，BD=(BC-AB)/2，则CD=(BC+AB)/2；
根据结论：BD=(BC-AB)/2，CD=(BC+AB)/2，则CD^2-BD^2=(CD+BD)(CD-BD)=BC·AB；
根据结论：AC^2=AB^2+CD^2-BD^2，CD^2-BD^2=BC·AB，则AC^2=AB^2+AB·BC。
结语
解决三角形内线段间数量关系证明题的关键是合理添加辅助线，构造出直角三角形和等腰三角形，再利用勾股定理和等腰三角形的性质得到边之间的数量关系，进而得到题目需要证明的结论。
